Hızlı Konu Özetleri

Kesirler: Temelden Dört İşleme

Kesrin anlamından başlayarak genişletme, sadeleştirme, karşılaştırma ve dört işlemin nasıl yapıldığı ile nedenleri somut modellerle açıklanır.

Hızlı Konu Özeti · Matematik

Kesirler: Temelden Dört İşleme

Temel kavramlar, dört işlemin nedeni, kısa örnekler ve kontrol listesi.

Kesir neyi anlatır?

Kesir, bir bütünün eş büyüklükteki parçalarından kaç tanesini düşündüğümüzü gösterir. Örneğin bir çikolatayı 4 eş parçaya ayırıp 3 parçayı alırsak aldığımız miktar $\frac{3}{4}$ çikolatadır.

3 4

Pay: 3: Seçilen eş parça sayısıdır. Burada 3 parça seçilmiştir.
Kesir çizgisi: “Bölü” anlamına gelir: $\frac{3}{4}$ = 3 ÷ 4.
Payda: 4: Bir bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir. Her parça $\frac{1}{4}$ olur.

4 eş parça: kesir olur

Her parçanın büyüklüğü aynıdır. Bu yüzden her birine “dörtte bir” diyebiliriz.

4 eş olmayan parça: kesir modeli olmaz

Biri büyük, biri küçükse hepsine “dörtte bir” diyemeyiz. Çünkü aynı adla farklı miktarlar söylemiş oluruz.

Neden parçalar eş olmalı? “Yarım” dediğimizde bütünün tam olarak iki eş payından birini kastederiz. Çikolatayı biri büyük, biri küçük iki parçaya ayırırsak büyük parçayı alan kişiyle küçük parçayı alan kişi aynı miktarı almaz. Bu nedenle bu parçaların ikisine de yarım denemez.

Kesir türleri ve tam sayılar

Basit kesir: Pay paydadan küçüktür. $\frac{3}{5}$ , beş eş parçanın üçünü gösterir; bir bütün için 5 parça gerektiğinden 1’den küçüktür.
Bileşik kesir: Pay paydaya eşit veya paydadan büyüktür. $\frac{7}{4}$ , 7 tane çeyrek demektir; 4 çeyrek bir bütün, kalan 3 çeyrek de $\frac{3}{4}$ bütün eder.
Tam sayılı kesir: Bütün sayısı ile artan kesir birlikte yazılır. 1 $\frac{3}{4}$ = $\frac{1 × 4 + 3}{4}$ = $\frac{7}{4}$
Tam sayı: 3= $\frac{3}{1}$ . Çünkü her bütün “birde bir”dir; 3 bütün, 3 tane $\frac{1}{1}$ demektir.

Neden 1 × 4 + 3 yapıyoruz? 1 bütünün içinde 4 çeyrek vardır. Buna eldeki 3 çeyreği eklersek toplam 7 çeyrek buluruz. Yani yalnız yazılış değişir; miktar değişmez.

1 bütün = 4 çeyrek1 × 4 = 4 + 3 çeyrekeldeki kesir

4 çeyrek + 3 çeyrek = 7 çeyrek → $\frac{7}{4}$

Eşdeğer kesir, genişletme ve sadeleştirme

Eşdeğer kesirler farklı sayılarla yazılsa da aynı miktarı gösterir. Örneğin yarım çikolata hem $\frac{1}{2}$ hem de $\frac{3}{6}$ olarak gösterilebilir.

\frac{1}{2}

\frac{3}{6}

Genişletme: Payı ve paydayı aynı doğal sayıyla çarpmaktır; kullandığımız sayı sıfır olamaz. Örneğin $\frac{1}{2}$ kesrinin payını ve paydasını 3 ile çarparsak $\frac{1 × 3}{2 × 3}$ = $\frac{3}{6}$ olur.

Genişletme miktarı neden değiştirmez? Başlangıçta çikolatanın 2 eş parçasından 1’i boyalıdır. Her eski parçayı 3 küçük eş parçaya bölersek toplam parça sayısı 2 × 3 = 6, boyalı parça sayısı da 1 × 3 = 3 olur. Çikolataya bir şey eklemedik veya çıkarmadık; yalnız her parçayı daha küçük eş parçalara ayırdık.

Sadeleştirme: Genişletmenin tersidir; payı ve paydayı aynı sayıya böleriz. $\frac{12 ÷ 6}{18 ÷ 6}$ = $\frac{2}{3}$ . On sekizde birlik küçük parçaları altışarlı grupladığımız için 12 seçili parça 2 gruba, toplam 18 parça 3 gruba dönüşür.

Kontrol: Genişletme ve sadeleştirmede pay ile paydaya mutlaka aynı işlem yapılır. Yalnız birini değiştirirsek kesrin gösterdiği miktar değişir.

Kesirleri karşılaştırma

Önce karşılaştırılan bütünlerin aynı büyüklükte olduğunu düşün. Küçük bir pastanın yarısı ile büyük bir pastanın yarısı aynı miktar olmayabilir.

Paydalar eşitse: Parçaların büyüklüğü aynıdır. Daha çok parça seçilen kesir daha büyüktür: $\frac{5}{8}$ > $\frac{3}{8}$ .
Paylar eşitse: Seçilen parça sayısı aynıdır. Bütünü daha az parçaya bölen payda daha büyük dilimler oluşturur: $\frac{2}{3}$ > $\frac{2}{5}$ .
İkisi de farklıysa: Kesirleri genişletip eş büyüklükte parçalarla, yani ortak paydayla yaz.

Karşılaştır: $\frac{3}{4}$ ? $\frac{2}{3}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{2}{3}$

Şeritler aynı uzunlukta. Ortak paydada $\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$ ve $\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{12}$ olur. 9 boyalı parça, 8 boyalı parçadan fazladır.

$\frac{3}{4}$ ? $\frac{2}{3}$ →

\frac{3}{4}

\frac{9}{12}

\frac{2}{3}

\frac{8}{12}

→9 > 8 → $\frac{3}{4}$ > $\frac{2}{3}$

Çapraz çarpma nereden gelir? 4 ve 3’ün ortak katı 12’dir. $\frac{3}{4}$ kesrini 3 ile, $\frac{2}{3}$ kesrini 4 ile genişletiriz. Karşılaştırdığımız 3 × 3 = 9 ve 2 × 4 = 8 sayıları, ortak paydadaki yeni paylardır. Çapraz çarpma bu genişletmenin kısa yazılışıdır.

Toplama ve çıkarma

Önce aynı büyüklükte parçalarla yaz: “Bir yarım” ile “bir üçte bir” aynı büyüklükte parçalar değildir. 1 metre ile 1 santimetreyi doğrudan “2 metre” diye toplayamadığımız gibi, yarımları ve üçte birleri de doğrudan sayamayız. Önce ikisini de aynı birime çeviririz. Kesirlerde buna ortak payda bulmak denir.

\frac{a}{c}

\frac{b}{c}

\frac{a + b}{c}

\frac{a}{c}

−

\frac{b}{c}

\frac{a − b}{c}

Paydalar zaten aynı:

\frac{2}{7}

\frac{3}{7}

\frac{5}{7}

→ 2 tane yedide bir ile 3 tane yedide bir, 5 tane yedide bir eder.

Paydalar farklı: İşlem:

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

= ? 1. Ortak payda 6’dır. 2.

\frac{1}{2}

\frac{3}{6}

\frac{1}{3}

\frac{2}{6}

. 3.

\frac{3}{6}

\frac{2}{6}

\frac{5}{6}

Çıkarma:

\frac{3}{4}

−

\frac{1}{6}

\frac{9}{12}

−

\frac{2}{12}

\frac{7}{12}

Neden paydaları toplamıyoruz? Payda, kullandığımız parçanın büyüklüğünü söyler. Yedide birlik parçaları birleştirince parçalar birden on dörtte birlik olmaz. Bu yüzden $\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{7}$ işleminde 2 + 3 yapılır, “yedide bir” adı korunur ve sonuç $\frac{5}{7}$ olur.

Çarpma: Bir miktarın bir bölümünü bulma

$\frac{2}{3}$ × $\frac{3}{5}$ işlemi, “ $\frac{3}{5}$ miktarının $\frac{2}{3}$ ’ünü bul” diye okunabilir. Yani önce bütünün $\frac{3}{5}$ ’ini, sonra bu seçili miktarın $\frac{2}{3}$ ’ünü alırız.

Açık yeşil: bütünün $\frac{3}{5}$ ’i, yani 9 kareKoyu yeşil: bu 9 karenin $\frac{2}{3}$ ’ü, yani 6 kare

\frac{a}{b}

\frac{c}{d}

\frac{a × c}{b × d}

Örnek:

\frac{2}{3}

\frac{3}{5}

\frac{6}{15}

\frac{2}{5}

Paylar ve paydalar neden çarpılıyor? Bütünü önce 5 sütuna, sonra her sütunu 3 sıraya ayırınca 5 × 3 = 15 eş küçük kare oluşur. Seçimlerin kesişiminde 3 × 2 = 6 kare kalır. Bu nedenle sonuç $\frac{2 × 3}{3 × 5}$ = $\frac{6}{15}$ olur.

Çarpmadan önce kısaltma: Bir pay ile öteki paydayı aynı sayıya bölmek, eşdeğer kesir kullanmaktır. Miktar değişmez; yalnız çarpacağımız sayılar küçülür.

Bölme: İçinde kaç grup var?

Kesirle bölme, bir miktarın içinde bölen büyüklüğünden kaç tane bulunduğunu sorar. Örneğin $\frac{3}{4}$ ÷ $\frac{1}{4}$ işleminde “üç çeyreğin içinde kaç tane bir çeyrek var?” diye sorarız.

$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$

\frac{3}{4}

\frac{1}{4}

= 3

Neden 3? Boyalı üç kutunun her biri birer çeyrektir. Üç çeyreğin içinde bu büyüklükte 3 ayrı grup bulunur.

Paydalar farklıysa önce ortak parçayla düşün: $\frac{2}{3}$ litre meyve suyu, $\frac{4}{5}$ litrelik bir şişenin ne kadarını doldurur?

1. İki miktarı da on beşte birlik parçalarla yaz:

\frac{2}{3}

\frac{10}{15}

\frac{4}{5}

\frac{12}{15}

. 2. Elimizde 10 tane on beşte bir, tam dolu şişede 12 tane on beşte bir vardır. 3. Şişenin dolan kısmı

\frac{10}{12}

\frac{5}{6}

olur.

\frac{2}{3}

\frac{4}{5}

\frac{2}{3}

\frac{5}{4}

\frac{10}{12}

\frac{5}{6}

“İkinci kesri ters çevirip çarpma” nereden gelir? Ortak paydada ilk miktarın parça sayısı 2 × 5 = 10, ikinci miktarın parça sayısı 4 × 3 = 12 olur. Aradığımız “10, 12’nin ne kadarıdır?” sorusunun cevabı $\frac{10}{12}$ ’dir. Bu da $\frac{2 × 5}{3 × 4}$ , yani $\frac{2}{3}$ × $\frac{5}{4}$ ile aynıdır. Ters çevirme ezberlenmiş ayrı bir sihir değil, ortak büyüklükteki parçaları karşılaştırmanın kısa yoludur.

Ters kesir nedir? Sıfırdan farklı bir kesirde pay ile paydanın yer değiştirdiği kesirdir. $\frac{4}{5}$ ile $\frac{5}{4}$ ters kesirlerdir ve çarpımları 1’dir.

Neden sıfıra bölünmez? Bölme “kaç tane grup var?” diye sorar. Büyüklüğü 0 olan gruplardan kaç tane alırsak alalım sıfırdan farklı bir miktar oluşturamayız. Bu nedenle bölen 0 olamaz; bir kesrin paydası da 0 olamaz.

Sık yapılan hata → Nasıl kontrol ederim?

Her kartta önce yapılan hata, sonra bu hatayı nasıl fark edebileceğin gösterilir.

Hata: Eş olmayan parçaları kesir parçası saymak. Örneğin biri geniş, biri dar dört parçanın her birine “dörtte bir” demek.

Nasıl kontrol ederim? Şekildeki bütün parçaların genişliği veya alanı aynı mı diye bakarım. Değilse bu şekil bir kesri doğru göstermez.
Hata: Bütünleri farklı büyüklükte olan iki kesri miktar olarak karşılaştırmak. Küçük pizzanın $\frac{1}{2}$ ’si ile büyük pizzanın $\frac{1}{2}$ ’si aynı miktar değildir.

Nasıl kontrol ederim? İki kesrin de aynı büyüklükte bir bütüne ait olup olmadığına bakarım. Bütünler aynı değilse yalnız kesir adlarını karşılaştırabilirim, gerçek miktarlarını değil.
Hata: Genişletirken veya sadeleştirirken yalnız payı ya da yalnız paydayı değiştirmek. $\frac{1}{2}$ → $\frac{3}{2}$ genişletme değildir.

Nasıl kontrol ederim? Pay hangi sayıyla çarpılmış veya bölünmüşse paydaya da aynı işlemin yapıldığını ararım: $\frac{1 × 3}{2 × 3}$ = $\frac{3}{6}$ .
Hata: Paydaları farklı kesirleri doğrudan toplamak veya paydaları da toplamak. $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{5}$ yanlış olur.

Nasıl kontrol ederim? Toplamadan veya çıkarmadan hemen önce paydalar aynı mı diye bakarım. Değilse ortak payda bulurum: $\frac{3}{6}$ + $\frac{2}{6}$ = $\frac{5}{6}$ .
Hata: Bölmede ne aradığını düşünmeden yalnız ters çevirip çarpmak.

Nasıl kontrol ederim? İşlemi “İlk miktarın içinde ikinci miktardan kaç tane var?” diye okurum. Örneğin $\frac{3}{4}$ ÷ $\frac{1}{4}$ için “Üç çeyreğin içinde kaç tane bir çeyrek var?” derim; cevap 3 olmalıdır.
Hata: Bulduğum sonucu hiç incelemeden bırakmak.

Nasıl kontrol ederim? Önce pay ile paydanın ortak böleni varsa sadeleştiririm. Sonra sonucu yaklaşık düşünürüm: $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ bir bütünden küçük olmalıdır; $\frac{5}{6}$ bu beklentiye uyar.

★

Dört işlem tek bakışta

İşlem	Sorduğu şey	Ne yaparım?	Neden?
Toplama	Eş parçaları birleştirme	Ortak payda bul, payları topla	Yalnız aynı büyüklükte parçalar birlikte sayılabilir
Çıkarma	Eş parçalardan ayırma	Ortak payda bul, payları çıkar	Kalan parça sayısını buluruz; parça büyüklüğü değişmez
Çarpma	Bir miktarın bir bölümünü bulma	Payları ve paydaları çarp	Satır ve sütun bölmeleri daha küçük ortak parçalar oluşturur
Bölme	İçinde kaç grup olduğunu bulma	Ortak parça sayılarını karşılaştır	Ters çevirip çarpma bu karşılaştırmanın kısa yazılışıdır

Dersler