Üçgenlerde Çevre ve Alan: Hızlı Ders Notu
Üçgen çeşitleri ile çevre ve alan hesabı; doğru yüksekliği seçme ve alan kuralının neden her üçgende aynı olduğu görsellerle özetlenir.
Üçgenlerde Çevre ve Alan: Hızlı Ders Notu
Üçgen türleri, çevre–alan farkı, doğru yükseklik, formülün nedeni ve kısa çözümlü örnekler.
Önce neyi ölçtüğünü ayır
Üçgenin dış sınırı boyunca alınan toplam yoldur. Üç kenarı topla.
cm, m, brÜçgenin içinde kaplanan yüzeydir. Taban ve dik yüksekliği kullan.
cm², m², br²Bir köşeden seçilen tabana veya tabanın uzantısına 90° ile inen uzaklıktır.
h ile gösterilirNeden çevre birimi cm, alan birimi cm²? Çevrede tek yönde uzunluk ölçeriz. Alanda taban ile yüksekliği çarparız; santimetre × santimetre, santimetrekareyi yani cm²yi oluşturur.
Bir üçgenin iki adı olabilir
Önce kenarlarına, sonra açılarına bak. Örneğin iki kenarı eşit ve bir açısı 90° olan şekil, ikizkenar dik üçgendir.
3 kenar eşit; 3 açı da 60°.
2 kenar ve onların karşısındaki 2 açı eşit.
3 kenarın uzunluğu birbirinden farklı.
Üç açının üçü de 90°’den küçük.
Bir açı 90°; karşısındaki kenar hipotenüs.
Bir açı 90°’den büyük.
Değişmeyen bilgi: Üçgenin türü ne olursa olsun üç iç açısının toplamı 180°’dir.
Çevre: sınırı dolaş
Kural: Ç = a + b + c
Örnek: 5 + 6 + 7 = 18 cm
Neden üç kenarı topluyoruz? Çevre, başlangıç noktasına dönene kadar üçgenin bütün dış kenarlarında yürüdüğümüz yoldur. İçerideki yükseklik çevreye katılmaz.
Doğru yüksekliği seç
Dar üçgen: Yükseklik içeridedir.
Dik üçgen: Dik kenarlardan biri taban, diğeri yükseklik olabilir.
Geniş üçgen: Yükseklik, seçilen tabanın uzantısına 90° ile iner. Bu yüzden üçgenin dışında kalabilir.
Kontrol: Yükseklik ile taban buluştuğunda 90° oluşmuyorsa o uzunluğu alan hesabında yükseklik olarak kullanma.
Alan kuralı neden her üçgende aynı?
Çizime üçgenle başla. Karşı köşeden tabana dik yüksekliği çizince üçgen iki dik üçgen parçaya ayrılır. Bu parçaların eş kopyalarını üstte kalan boşluklara yerleştirince tabanı b, yüksekliği h olan bir dikdörtgen oluşur. Mavi asıl parçalar bir üçgeni, mor kopyalar da ona eş ikinci bir üçgeni oluşturur. Yani oluşan dikdörtgen iki eş üçgen kadardır; asıl üçgen bu dikdörtgenin yarısıdır.
Mavi parçalar: Asıl üçgen
Mor parçalar: Mavi parçaların aynı şekil ve büyüklükteki eş kopyaları
Tamamlanan şekil: b × h dikdörtgeni
Sonuç: Dikdörtgen = 2 eş üçgen
- 1. Dikmeyi çizKarşı köşeden tabana 90° ile inen yüksekliği çiz. Bu çizgi asıl üçgeni iki dik üçgen parçaya ayırır.
- 2. Eşlerini yapHer mavi parçanın aynı şekil ve büyüklükte mor bir eş kopyasını oluştur. Mor parçaların toplam alanı, mavi asıl üçgenin alanına eşittir.
- 3. Boşlukları doldurMor kopyaları büyütmeden veya küçültmeden üstteki eş köşe boşluklarına taşı. Mavi ve mor parçalar birlikte tabanı b, yüksekliği h olan dikdörtgeni boşluksuz doldurur.
- 4. Yarısını alDikdörtgenin alanı b × h’dir. Dikdörtgen bir mavi üçgen ve ona eş bir mor üçgen kadar alan içerir. Bu nedenle bir üçgen dikdörtgenin yarısıdır: A = b × h ÷ 2.
Peki neden üçgenin türü sonucu değiştirmiyor? Üçgen ister dar, ister dik, ister geniş açılı olsun; bir tabanı ve o tabana 90° ile ölçülen bir yüksekliği vardır. Üçgenin parçalarını eş kopyalarıyla yeniden düzenlediğimizde b × h dikdörtgenini doldurabiliriz. Bu dikdörtgen iki eş üçgen kadardır. Bu yüzden bir üçgenin alanı dikdörtgenin yarısıdır: A = b × h ÷ 2. Bunun nasıl olduğunu aşağıdaki çizimlerde gör.
Şimdi yalnız biçimi değiştirelim: Aşağıdaki bütün örneklerde taban 10 cm, dik yükseklik 4 cm. Mavi bölüm asıl üçgeni, pembe bölümler onun aynı şekil ve büyüklükteki eş kopyalarını gösterir.
Yükseklik üçgeni iki parçaya ayırır. Bu parçaların eş kopyaları üstteki boşlukları doldurur.
Oluşan dörtgen: 10 × 4 dikdörtgen = 40 cm²
Asıl üçgen: 40 ÷ 2 = 20 cm²
Dik kenarlar taban ve yüksekliktir. Tek eş kopya, boş kalan yarıyı doldurur.
Oluşan dörtgen: 10 × 4 dikdörtgen = 40 cm²
Asıl üçgen: 40 ÷ 2 = 20 cm²
En uzun kenarı taban seçince yükseklik içeride kalır. Eş kopyalar iki üst köşeyi doldurur.
Oluşan dörtgen: 10 × 4 dikdörtgen = 40 cm²
Asıl üçgen: 40 ÷ 2 = 20 cm²
Mavi + pembe = tamamlanan dörtgen
Sarı parça: taşınacak köşe
Tamamlanan şekil: 10 × 4 dikdörtgen
Seçtiğimiz 10 cm’lik tabanın karşı köşesinden inen dikme, tabanın solundaki uzantıya basar. Sonra üçgenin eş kopyasını çevirip uzun eğik kenara yerleştiririz.
- Kopyayı yerleştir:Mavi ve pembe üçgen dörtgeni boşluksuz doldurur.
- Köşeyi taşı:Sağdaki sarı parça soldaki aynı biçimli boşluğu doldurur.
- Dikdörtgen ve üçgen:10 × 4 = 40 cm²; 40 ÷ 2 = 20 cm²
Yüksekliğin dışarıda olması sonucu değiştirmez: Dörtgenin sağdaki çıkıntılı köşe parçasını sola taşırsak 10 × 4 dikdörtgen elde ederiz. Parça yalnız yer değiştirir; alan değişmez. Dörtgen iki eş üçgenden oluştuğu için mavi üçgen bunun yarısıdır: 10 × 4 ÷ 2 = 20 cm².
Gördün mü? İlk üç örnekte eş kopyalar 40 cm²lik dikdörtgenleri tamamladı. Yüksekliğin dışarıda kaldığı son örnekte de mavi üçgen ve pembe eş kopyası önce bir dörtgen oluşturdu; sağdaki köşe sola taşınınca bu şekil 10 × 4 dikdörtgene dönüştü. Her tamamlanan şekil iki eş üçgenden oluştuğu için mavi asıl üçgen yine 20 cm² çıktı. Bu yüzden alanı belirleyen üçgenin türü veya yüksekliğin içeride–dışarıda görünmesi değil, seçilen taban ile o tabana ait dik yüksekliktir.
Taban değişirse ne olur? Her kenar taban seçilebilir; fakat onunla birlikte mutlaka o tabana 90° ile inen yükseklik kullanılmalıdır. Bazı seçimlerde yükseklik tabanın uzantısında kalır. Hangi uygun taban–yükseklik çiftini seçersen seç, üçgenin alanı aynı çıkar.
Üçgenlerde Çevre ve Alan animasyonunda deneKısa çözümlü örnekler
30 saniyelik kontrol
- □Üçgeni hem kenarlarına hem açılarına göre adlandırdım mı?
- □Çevrede yalnız üç dış kenarı topladım mı?
- □Alan için seçtiğim yükseklik tabana 90° ile iniyor mu?
- □Alan hesabında 2’ye böldüm mü?
- □Çevreyi cm, alanı cm² gibi doğru birimle yazdım mı?
- □Üç iç açının toplamı 180° ediyor mu?